Основа понимания — запоминание и повторение.

Я была своенравным ребенком, выросшим на литературе и относившимся к математике и естественным наукам так, как будто от них можно было заразиться чумой. Поэтому довольно странно, что в результате я стала человеком, который каждый день имеет дело с тройными интегралами, преобразованиями Фурье, и жемчужиной математики, уравнением Эйлера. Трудно поверить, что из человека с буквально врожденной фобией к математике, я превратилась в профессора инженерного дела.

Как-то раз один из моих студентов спросил у меня, как мне это удалось: как я изменила свой мозг. Я хотела ответить: «Черт побери, это было крайне трудно!» В конце концов, я не справлялась с математикой и естественными науками в начальной, средней школе и в старших классах. По правде говоря, я начала брать уроки математики только после увольнения из армии, когда мне было 26 лет. Если бы существовал пример потенциала гибкости мозга взрослого человека, я бы стала Образцом № 1.

Изучение математики и естественных наук во взрослом возрасте открыло мне путь в мир, дающий множество возможностей, — в инженерное дело. Завоеванное тяжелым трудом в зрелом возрасте изменение моего мозга позволило мне своими глазами взглянуть на нейропластичность, лежащую в основе обучения взрослого человека. К счастью, подготовка к докторской диссертации по системной инженерии, связующего огромной картины разных дисциплин STEM (естественные науки, технологии, инженерное дело, математика), а потом к дальнейшим моим исследованиям и трудам, в центре которых было устройство человеческого мышления, помогло мне осознать последние открытия в нейронауках и когнитивной психологии, связанные с процессом обучения.

С тех пор как я получила докторскую степень, тысячи студентов прошли через мои руки, студенты, которые учились в начальной школе и в старших классах, верили, что священным талисманом понимания математики является активное обсуждение. Считается, что если вы можете объяснить другим то, что вы узнали, например, нарисовав картинку, — значит, вы это понимаете.

Япония стала вызывающим восхищение и подражание образцом этих активных методов обучения, «строящихся на понимании». Однако об оборотной стороне этой концепции рассказывают нечасто: Япония стала также родиной методики преподавания математики Кумона, который строится на запоминании, повторении, зубрежке и работой над тем, как ребенок овладевает материалом. Эта интенсивная внешкольная программа (и другие аналогичные) была с радостью воспринята родителями в Японии и по всему миру, которые дополняют интерактивное образование своих детей большим количеством практики, повторения и, да, тонко продуманной зубрежки, чтобы дать им возможность свободного овладения предметом.

В США упор на понимание порой вытесняет другую более старую методику, используемую (и использовавшуюся) учеными: для изучения математики и естественных наук необходимо работать с естественным процессом мозга.

В последней волне реформ в образовании в математике речь идет об обязательной школьной программе: это попытка задать сильные, одинаковые стандарты во всей Америке, хотя критики отмечают, что стандарты не выдерживают сравнения со странами, показывающими лучшие достижения. По крайней мере, поверхностно стандарты позволяют увидеть разумную перспективу. Они предполагают, что в математике ученики должны иметь в равной степени концептуальное знание, свободно владеть навыками решения задач и умением их применять.

Загвоздка, разумеется, заключается в осуществлении задуманного. В существующем образовательном климате запоминание и повторение в дисциплинах STEM (по сравнению с изучением языка или музыки) часто рассматривается как унизительная трата времени как учеников, так и учителей. Многих учителей давно учили, что в дисциплинах STEM самое главное — концептуальное знание. В самом деле, учителям легче привлечь учеников к обсуждению математической темы (и если это делается на должном уровне, то развивает лучшее понимание), чем утомительно оценивать сделанные домашние задания. Подразумевается, что свободное владение навыками и умение их применять должны развиваться в равном объеме с концептуальным знанием, а этого очень часто не случается. Распространение концептуального знания безраздельно властвует, особенно в драгоценное классное время.

Трудность в сосредоточении на понимании состоит в том, что на занятиях математикой и естественными науками ученики могут зачастую ухватить важную мысль, но это знание может быстро ускользнуть, не утвердившись в практике и повторении. Что еще того хуже, ученики часто считают, будто понимают что-то, когда на самом деле это не так. Выдвигая на первый план важность понимания, учителя могут, сами того не желая, подтолкнуть своих учеников к неудаче, в то время как ребята тешат себя иллюзией знания. Как сказал мне недавно один студент-инженер (заваливая экзамен): «Я просто не понимаю, как у меня мог получиться такой плохой результат. Я все понимал, когда вы объясняли на занятии». Мой студент мог подумать, что он понял тему тогда, и, возможно, так оно и было, но он ни разу не применил на практике это знание, чтобы действительно его усвоить. Он не выработал никакого навыка решений и способности применять то, что, по его мнению, он уже понял.

Есть интересная взаимосвязь между изучением математики и естественных наук и освоением какого-либо спорта. Когда вы учитесь бить клюшкой для гольфа, вы совершенствуете это движение за счет постоянного повторения в течение нескольких лет. Ваше тело знает, что нужно делать при одном только возникновении мысли об этом (весь блок), вместо того, чтобы вспоминать все сложные шаги, предпринимаемые для осуществления удара по мячу.

Точно так же, как только вы поняли что-то в математике и естественных науках, вы не должны постоянно заново объяснять это себе каждый раз, как сталкиваетесь с темой. Не нужно носить с собой 25 мраморных шариков, постоянно выкладывая ряды из пяти штук, чтобы понять, что 5×5 = 25. В определенный момент вы просто знаете это наизусть. Вы запоминаете мысль, что нужно просто складывать экспоненты (маленькие надписанные сверху циферки), при умножении одного и того же числа в разной степени (104×105 = 109). Если вы часто проделываете эту процедуру, решая много задач разного типа, то обнаружите, что прекрасно понимаете как причины, так и действия, стоящие за процедурами. Понимание расширяется за счет того, что ваш мозг выстроил схемы смысла. Постоянная сосредоточенность на самом понимании на самом деле оказывается помехой.

Я узнала все это о математике и процессе обучение не в аудиториях К-12, а на собственном опыте, будучи ребенком, выросшим, читая Мадлен Лэнгл и Достоевского, изучавшим язык в одном из ведущих мировых языковых вузов, а потом вдруг превратившимся в профессора инженерии.

В молодости, обладая способностями к языкам и не имея ни достаточного количества денег, ни навыков, я не могла себе позволить поступления в колледж (о кредитах на колледж тогда еще речи не шло). Поэтому из старших классов я направилась прямиком в армию. Я любила изучать иностранные языки еще в старших классах, а армия казалась мне местом, где людям платят деньги за изучение иностранных языков, даже если они учатся в престижном Военном институте иностранных языков, месте, где изучение языков выросло в науку. Я выбрала русский, потому что он очень сильно отличался от английского, но не был столь сложен, чтобы мне пришлось целую вечность его учить и научиться говорить на нем на уровне четырехлетнего ребенка. Кроме того, железный занавес манил своей таинственностью: вдруг мне удастся использовать свое знание русского языка и взглянуть, что за ним скрывается?

Отслужив в армии, я стала переводить для русских, работавших на советских траулерах в Беринговом море. Работать на русских было занятно и увлекательно, плюс это была слегка гламурная разновидность работы для мигрантов. Едешь на море в рыболовный сезон, зарабатываешь приличные деньги, попутно постоянно напиваясь, потом возвращаешься в порт в конце сезона и надеешься, что тебя снова позовут на работу на следующий год. Для человека, владеющего русским языком, была только одна альтернатива трудоустройства — работать на Агентство национальной безопасности (мои знакомые в армии постоянно подсказывали мне этот вариант, но это было не для меня).

Я начала понимать, что само по себе знание иностранного языка — дело полезное, но с ограниченным потенциалом и количеством возможностей. Никто не обрывал мне телефон, никому не требовалось моих познаний в области склонений в русском языке. Если только я не собиралась привыкать к морской болезни и периодическому недоеданию на зловонных траулерах посреди Берингова моря. Я все время вспоминала инженеров, учившихся в Уэст-пойнт, с которыми я работала в армии. Их математический и естественнонаучный подход к решению задач был очевидно полезен в реальном мире, гораздо более полезен, чем мои злоключения с математикой в юности могли позволить мне предположить.

Таким образом, в 26 лет, увольняясь из армии и находясь в поисках новых возможностей, я поняла: если я действительно хочу попробовать заняться чем-либо новым, почему бы не начать с того, что могло бы открыть передо мной целый мир новых перспектив? Что-то вроде инженерии? Это означало, что я попытаюсь выучить совершенно другой язык — язык исчисления.

При моем скудном понимании даже простейшей математики мои послеармейские старания начались с восстановительных уроков алгебры и тригонометрии. Это было намного ниже нулевого уровня большинства студентов колледжа. Попытка перепрограммировать свой мозг казалась мне порой нелепой затеей, особенно когда я смотрела на юные лица младших одногруппников и понимала, что они уже забросили свои сложные занятия математикой и естественными науками, а я решила пойти прямо навстречу им. Но в моем случае, при моем опыте освоения русского языка во взрослом возрасте я подозревала (или просто надеялась), что в аспектах изучения иностранного языка будет что-то, чем я смогу воспользоваться при освоении математики и естественных наук.

Когда я учила русский, я сосредоточилась не только на понимании языка, но и на свободном владении им. Свободное использование целой системы (в данном случае языка) требует близкого ознакомления, которое достигается исключительно за счет многократного и разнообразного взаимодействия с ее элементами. Там, где мои однокашники довольствовались простым пониманием устного или письменного русского, я пыталась выработать внутреннюю, глубинную связь со словами и структурой языка. Я не довольствовалась лишь знанием значения слова «понимать». Я использовала глагол на практике: постоянно спрягала его в разных временах, использовала его в предложениях, и, наконец, понимала не только, когда использовать данную форму глагола, но и когда не стоит этого делать. Я тренировалась, ставя перед собой задачу быстро вспомнить все эти аспекты и вариации. Если вы не владеете языком свободно, а кто-то быстро тараторит что-то в ваш адрес, как это случается в обычном разговоре (что всегда звучит ужасно быстро, когда вы учите иностранный язык), вы не имеете ни малейшего понятия, что вам на самом деле говорят, хотя технически вы понимаете каждое слово в отдельности и структуру фраз. Разумеется, вы и сами не можете говорить достаточно быстро, чтобы носителям языка было приятно вас слушать.

Благодаря этому подходу (сосредоточении на свободном владении, вместо простого понимания) я обогнала всех в классе. Я не осознавала этого тогда, но этот подход к изучению языка дал мне интуитивное понимание фундаментальной основы обучения и развил компетенцию — формирование блоков.

Изначально формирование блоков было разработано в революционном труде Герберта Саймона (Herbert Simon), где он анализировал шахматы: блоки рассматривались как разнообразные нейронные эквиваленты разных шахматных схем. Постепенно нейробиологи поняли, что такие специалисты, как гроссмейстеры в шахматах, достигли этого благодаря тому, что хранили тысячи блоков знаний о своей экспертной области в долгосрочной памяти. Гроссмейстеры, например, могут помнить десятки тысяч разных шахматных схем. Вне зависимости от дисциплины знатоки могут пробудить в сознании одну или несколько хорошо спаянных, собранных в блок нейронных подпрограмм, с помощью которых они анализируют и реагируют, сталкиваясь с необходимостью изучения нового. Уровень подлинного понимания, способность использовать его в новых ситуациях появляется лишь при той четкости, уровне знания, которые могут обеспечить лишь повторение, запоминание и практика.

Как показали исследования, проведенные среди шахматистов, врачей скорой помощи и летчиков-истребителей, в моменты наибольшего напряжения на смену сознательного анализа ситуации приходит быстрая подсознательная обработка, так как у всех этих специалистов вырабатывается на глубинном уровне система нейронных подпрограмм, блоки. В определенный момент осознанное «понимание», почему вы совершаете то или иное действие, служит только препятствием и выливается в не самые удачные решения. Когда я интуитивно понимала, что между изучением иностранного языка и изучением математики есть связь, я была права. Ежедневное длительное практическое освоение русского зарядило и скрепило мои нейронные связи, и я постепенно начала связывать воедино блоки языковых знаний, которые можно было с легкостью использовать теперь. Организуя свое обучение «слоями» (иными словами, занимаясь так, что я не только знала, когда следует использовать слово, но и когда этого делать не следует, или предпочтительнее другой его вариант), я на самом деле использовала тот же подход, который применяют практикующие специалисты в математике и естественных науках. Изучая математику и инженерное дело во взрослом возрасте, я начала использовать ту же стратегию, что и при изучении иностранного языка. Я смотрела на равенство, если взять самый элементарный пример, на второй закон Ньютона f = ma. Тренировалась в понимании, что значит каждая буква: f — сила тяжести — означала давление, m — масса тела — оказывала моему давлению своего рода сопротивление, а a — бодрящее ощущение ускорения. (Эквивалентом в изучении русского языка было произнесение вслух букв русского алфавита). Я запоминала равенство так, чтобы оно осело у меня в памяти, и я могла играть с ним. Если m и a были большими числами, то как это влияло на f, когда я подставляла их в формулу? Если f было большим числом, а a маленьким, как это влияло на m? Как соответствовали друг другу части равенства? Обыгрывание равенства напоминало спряжение глагола. Я начинала интуитивно понимать, что размытые контуры равенства были похожи на насыщенное метафорами стихотворение, в котором скрыто множество прекрасных символических образов. Хотя в то время я бы не назвала это так, по правде говоря, чтобы хорошо освоить математику и естественные науки, мне требовалось медленно, изо дня в день выстраивать крепкие нейронные «блоковые» подпрограммы (наподобие тех, что я проделывала с формулой f = ma), чтобы я могла с легкостью пользоваться информацией из долгосрочной памяти, как я поступала и с русским языком.

Порой преподаватели по математике и естественным наукам говорили мне, что выстраивание информационных блоков, глубоко закрепляющихся в сознании, было абсолютной основой их успеха. Понимание не создает свободного владения знанием; наоборот, свободное владение выстраивает понимание. На самом деле, я считаю, что подлинное понимание сложного предмета возникает лишь в условиях свободного владения им.

Иными словами, в преподавании именно естественных наук и математики легко перейти к методам обучения, где акцент делается на понимание, а рутинного повторения и практики, служащих основой свободного владения предметом — избегают. Я выучила русский язык не только благодаря тому, что я его понимала, — в конце концов, понимание не такая сложная задача, но оно может легко от вас ускользнуть. (Что значит русское слово «понимать»?) Я выучила русский язык, стремясь к свободному владению благодаря практике, повторению и зубрежке, только такому виду зубрежки, который стимулировал способность гибкого и быстрого мышления. Я выучила математику и естественные науки, применяя ровно те же самые принципы. Язык, математика, естественные науки, как и почти все сферы человеческого знания, задействуют одни и те же механизмы мозга.

Когда я вырвалась в новую жизнь, став инженером-электриком, а потом профессором инженерного дела, я оставила русский язык в прошлом. Но через 25 лет после того, как я в последний раз выпивала на советском траулере, мы с семьей решили проехать через всю Россию по транссибирской железной дороге. Несмотря на то, что я предвкушала эту поездку, о которой давно мечтала, я волновалась. За все эти годы я едва ли произнесла хотя бы слово по-русски. А вдруг я совсем его забыла? Что же мне дали все эти годы освоения свободного владения языка?

Разумеется, когда мы только сели на поезд, я говорила по-русски, как двухлетний ребенок. Я судорожно искала слова, ошибалась в склонении и спряжении, мой прежнее почти идеальное произношение превратилось в ужасный акцент. Но основы были заложены, и изо дня в день мой русский становился все лучше и лучше. Но даже при наличии базового уровня я справлялась с осуществлением повседневных задач во время нашего путешествия. Вскоре ко мне стали подходить экскурсоводы, чтобы я помогала переводить им для других пассажиров. Наконец мы прибыли в Москву и загрузились в такси. Водитель, как я вскоре поняла, собирался обобрать нас как липку, — он вез нас ровно в противоположном направлении, через пробки, ожидая, что ничего не понимающие иностранцы в молчаливом согласии заплатят за лишний час по тарифу. Вдруг у меня вырвались русские слова, которых я не произносила десятки лет. Я даже не осознавала, что я их знаю.

Где-то глубоко в сознании сохранялось мое свободное владение языком и вышло наружу в нужный момент: оно быстро вызволило нас из беды (и помогло найти другое такси). Свободное владение позволяет пониманию стать частью сознания и всплывает тогда, когда оно вам необходимо.

Когда я вижу сегодня, насколько не хватает в нашей стране специалистов по естественным наукам и математике, наблюдаю современные тенденции в педагогике, размышляя о своем собственном пути, о полученных мною знаниях о способностях нашего мозга, я понимаю, что мы могли бы достичь гораздо большего. Как родители и учителя, мы можем использовать простые, доступные методы, углубляющие понимание, делая его полезным и гибким. Мы можем подталкивать других людей и самих себя к изучению новых дисциплин, казавшихся нам слишком сложными — математики, танцев, физики, языка, химии, музыки — открывая тем самым для себя и других совершенно новые миры.

Как я поняла для себя, наличие основополагающего, глубоко укоренившегося свободного знания математики (а не просто «понимания»), — это основа всего. Оно открывает двери во множество интереснейших специальностей. Оглядываясь назад, я понимаю, что не должна была слепо следовать своим наклонностям и интересам. Та часть меня, которая «свободно» любила литературу и языки, была той же самой, благодаря которой я в результате я полюбила математику и естественные науки, она изменила и обогатила мою жизнь.